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Geometría fractal y dinámica fraccionaria en un modelo cardiovascular
En esta plática se presenta una conexión estructural-funcional entre la geometría fractal del sistema cardiovascular y un modelo fraccionario que permite simular su comportamiento hemodinámico. La idea central es que la dimensión fractal $ D_f $ de la red vascular impone una restricción sobre el orden de derivación fraccionaria $ \alpha $ a utilizar en modelos tipo Windkessel con derivadas de Caputo.
El resultado principal establece que, si la señal producida por un modelo dinámico fraccionario busca reflejar fielmente la complejidad geométrica de una estructura cardiovascular con dimensión fractal $ D_f \in (1,2) $, entonces el orden de derivación fraccionaria $ \alpha $ del modelo debe satisfacer la condición $ \alpha \geq 2 – D_f $, alcanzándose la igualdad $ \alpha = 2 – D_f $ en el caso ideal. Esta relación permite traducir propiedades geométricas medibles (como la rugosidad endocárdica o la trabeculación miocárdica) en parámetros funcionales del modelo dinámico.
Desde esta perspectiva, valores más altos de $ D_f $, como los observados en cardiopatías estructurales, corresponden a órdenes fraccionarios $ \alpha $ menores, lo que implica una dinámica con mayor memoria, retardo funcional y capacidad de almacenamiento. Estudios empíricos han reportado que en individuos sanos la dimensión fractal del endocardio se sitúa en torno a $ D_f \approx 1.20 $, mientras que en estados patológicos puede aumentar hasta $ D_f \approx 1.39 $. De acuerdo con la relación propuesta, esto se traduce en órdenes fraccionarios comprendidos entre $ \alpha \approx 0.80 $ y $ \alpha \approx 0.61 $.
Para explorar las implicaciones dinámicas de esta correspondencia, se simulan ciclos presión-volumen (PV-loop) mediante un modelo Windkessel de orden fraccionario con derivadas de Caputo, ajustando el valor de $ \alpha $ según la dimensión fractal asociada a diferentes escenarios fisiológicos. Las simulaciones obtenidas muestran cómo cambios en la geometría del sistema inducen respuestas dinámicas diferenciables, lo que abre una vía hacia la caracterización de patologías cardiovasculares a partir de propiedades estructurales medibles.