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Simulación unidimensional de la angiogénesis tumoral: un enfoque con FEniCS
El término angiogénesis, significa literalmente formación de nuevos vasos sanguíneos. El concepto de que \textquotedblleft el crecimiento tumoral es dependiente de la angiogénesis” ha provocado el progreso continuo en el desarrollo de inhibidores de la angiogénesis hacia el objetivo de la futura terapia de tumores. Esta hipótesis, que se propuso por primera vez en 1971, se puede expresar en sus términos más simples: una vez que se produce la \textquotedblleft toma” del tumor, cada aumento en la población de células tumorales debe ser precedido por un aumento de nuevos capilares que convergen en el tumor.
El presente trabajo se basa en el modelo matemático propuesto por Anderson y Chaplain ($1998$), el cual describe el proceso de angiogénesis tumoral mediante un sistema de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que modelan la migración de células endoteliales en respuesta a gradientes químicos (quimiotaxis) y físicos (haptotaxis), así como su motilidad aleatoria.
En este trabajo, se toma una versión reducida del modelo, en un dominio unidimensional $x \in [0,1]$, considerando una única ecuación que describe la evolución temporal de la densidad de células endoteliales. Se incluyen los mecanismos de difusión, quimiotaxis en respuesta al factor angiogénico tumoral (TAF) y haptotaxis en respuesta a la matriz extracelular. Se supone que tanto el TAF como la matriz extracelular son funciones del espacio independientes del tiempo. La ecuación diferencial parcial se resuelve numéricamente mediante el método de elementos finitos utilizando el software FEniCS. La ecuación resultante es
\begin{split} \frac{\partial n}{\partial t} &=D_{n} \frac{\partial^{2}n}{\partial x^{2}}-\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\chi_{0}k_1}{k_1+c}n \frac{\partial c}{\partial x} \right) – \frac{\partial}{\partial x}\left(\rho n \frac{\partial f}{\partial x}\right) \end{split}
donde, $n=n(x,t)$ es la densidad de células endoteliales por unidad de área en el tiempo $t>0$,
$c=c(x)$ es la concentración del TAF, $f=f(x)$ es la concentración de fibronectina, $D_{n}$ es el coeficiente de motilidad aleatoria de la célula,
$\chi_{0}$ es el coeficiente quimiotáctico, $\rho$ es el coeficiente haptotáctico y
$k_1$ es una constante positiva que regula la saturación quimiotáctica.