Jorge López López

En este trabajo se muestra cómo encontrar una aproximación numérica satisfactoria para la solución $u$ del problema de Cauchy

$$\{\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }u=0,\hfill & \mathrm{\text{en}}\mathrm{\Omega },\hfill \\ u=V,\hfill & \mathrm{\text{en}}{S}_2,\hfill \\ {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}}=0,\hfill & \mathrm{\text{en}}{S}_2.\hfill \end{array}$$ donde $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ es el anillo concéntrico al origen definido por los radios $R_1=1,R_2=2$ y $S_2$ es la frontera exterior del anillo. La función $V$ es dada. La dificultad con este problema es que es mal planteado desde el punto de vista numérico y para resolverlo numéricamente de manera satisfactoria se replantea como un problema de minimización, de un funcional $J$ adecuado en un espacio de Hilbert $H$ adecuado, el cual es bien planteado. Se mostrarán resultados numéricos obtenidos al usar el método de gradiente conjugado para resolver el problema de minimización y usando el método de elemento finito para resolver los problemas elípticos involucrados.

Palabras clave: Problema de Cauchy, Gradiente Conjugado, Elemento Finito.