Emanuel Portilla Cruz

Las conexiones entre estructuras combinatorias y algebraicas desempeñan un papel central en el desarrollo reciente de la combinatoria algebraica. En esta charla estudiaremos la gráfica de divisores de cero de un anillo conmutativo asociado a una gráfica simple.
Sea $\mathcal{𝒢}=(V,E)$ una gráfica simple con conjunto de vértices $V(\mathcal{𝒢})=\{x_1,\dots ,x_n\}$, y sea $R=K[x_1,\dots ,x_n]$ el anillo de polinomios sobre un campo $K.$ El ideal de aristas de $\mathcal{𝒢}$ se define como $I(\mathcal{𝒢})=⟨x_i{x}_j:\{x_i,x_j\}\in E(\mathcal{𝒢})⟩.$ Consideraremos el anillo cociente $R(\mathcal{𝒢})=R/I(\mathcal{𝒢})$, al que denominaremos anillo de Villarreal asociado a $\mathcal{𝒢}$.
Estudiaremos la gráfica de divisores de cero $\mathrm{\Gamma }(R(\mathcal{𝒢})),$ cuyos vértices son los divisores de cero no nulos de $R(\mathcal{𝒢}),$ y en la cual dos vértices distintos son adyacentes si y solo si su producto es cero. El objetivo principal será analizar cómo la estructura combinatoria de $\mathcal{𝒢}$ se refleja en $\mathrm{\Gamma }(R(\mathcal{𝒢}))$. En particular, analizaremos su diámetro, cintura, número de clique y número cromático, así como la relación que existen entre estos invariantes y determinadas propiedades de la gráfica original $\mathcal{𝒢}$.

Palabras clave: Combinatoria algebraica, Ideal de aristas, Gráfica de divisores de cero, Anillo cociente, Invariantes de gráficas.