Enrique Espinoza Loyola

El Teorema del Mapeo de Riemann (1851) establece que todo dominio simplemente conexo del plano complejo, distinto de todo $\mathbb{ℂ}$, es biholomorfo al disco unitario. Sin embargo, la demostración original de Riemann garantiza la existencia de tal mapeo y no proporciona un método explícito para construirlo. En la década de 1920, Stefan Bergman introdujo un enfoque novedoso basado en el espacio de funciones holomorfas de cuadrado integrable, hoy conocido como el espacio de Bergman $A^2(\mathrm{\Omega })$. Este espacio posee un núcleo reproductor, el núcleo de Bergman $K_{\mathrm{\Omega }}(z,w)$, que codifica información geométrica y analítica del dominio.

En esta charla mostraremos cómo el núcleo de Bergman permite dar una solución constructiva al problema de Riemann. Presentaremos la ley de transformación del núcleo bajo biholomorfismos y, utilizando el núcleo explícito del disco unitario, derivaremos una fórmula que expresa el mapeo conforme $\phi :\mathrm{\Omega }\to \mathbb{𝔻}$ en términos de $K_{\mathrm{\Omega }}$. Esta fórmula reduce el problema geométrico de encontrar el mapeo al problema analítico de calcular o aproximar el núcleo de Bergman.

Además, exploraremos el comportamiento asintótico del núcleo cerca de la frontera, mostrando cómo su explosión revela información sobre la curvatura y la geometría del dominio.

Finalmente, discutiremos la métrica de Bergman que este núcleo genera, un invariante biholomórfico que generaliza la geometría hiperbólica del disco y que tiene aplicaciones en ecuaciones en derivadas parciales, física cuántica y teoría de la aproximación.

El objetivo de la charla es presentar el núcleo de Bergman como un puente natural entre el análisis funcional y la geometría compleja, destacando su origen histórico en el problema de Riemann y su vigencia en la investigación contemporánea.

Palabras clave: Núcleo de Bergman, Mapeo de Riemann, Mapeo Conforme.