José Villa Morales

Se analiza la existencia y aproximación del primer cero positivo de las soluciones fundamentales de la ecuación diferencial fraccionaria en el sentido de Caputo $${}^C{D}_{0+}^{1+\alpha }y(x)+\lambda x^{m+1-\alpha }y(x)=0,$$ con $\alpha \in (0,1]$, $m\ge \alpha -1$ y $\lambda >0$. Se demuestra que las soluciones fundamentales admiten representaciones por series enteras y que truncaciones polinómicas convergentes permiten transferir propiedades de ceros a la solución límite: si una truncación de grado par presenta un cero positivo, entonces la solución exacta también lo posee, y las raíces de las truncaciones generan sucesiones monótonas que convergen al primer cero positivo. Además, se presenta un criterio práctico basado en la truncación de cuarto grado, de modo que si ésta alcanza un valor no positivo en su mínimo global, entonces existe un cero positivo de la solución completa. Los experimentos numéricos sugieren un umbral empírico ${\alpha }^{*}\approx 0.46522$ tal que, para $\alpha >{\alpha }^{*}$ y todo $m\ge \alpha -1$, las soluciones fundamentales poseen ceros positivos. También se discuten implicaciones para problemas de oscilación y posibles líneas futuras de investigación.

Palabras clave: EDF en el sentido de Caputo, Ceros de las soluciones, truncamiento local.